关于区间上 $C^{1+\varepsilon}$ 分段扩张映射的 ACIM 的随机稳定性

我们证明了区间上 $C^{1+\varepsilon}$ 分段扩张映射的绝对连续不变测度(ACIM)的随机稳定性。对于属于 $\mathcal{T}([0,1]; s, \varepsilon)$ 的映射 $\tau$，我们考虑扰动 Frobenius-Perron 算子 $P_\delta = Q_\delta P_\tau$，其中 $Q_\delta$ 是强调强度 $\delta > 0$ 的噪声的 Markov smoothing 算子。在广义有界变差空间 $BV_{1,1/p}$ 中，我们建立了在 $\delta$ 下均匀的 Lasota-Yorke 不等式。因此，每个 $P_\delta$ 都有一个不变密度 $h_\delta \in BV_{1,1/p}$，且 $h_\delta \to h$ 在 $L^1$ 范数下，其中 $h$ 是 $P_\tau$ 的 ACIM 密度。我们的证明结合了 $BV_{1,1/p}$ 框架——源自最近 ACIM 存在结果的框架——与 $P_\delta$ 的均匀准紧性和扰动理论。该结果在最低 $C^{1+\varepsilon}$ 正则性($\varepsilon > 0$) 下建立 $C^1$ 情况已知会失败。