用于偏微分方程不同域与参数的微分同胚神经算子

在科学与工程应用中，求解具有不同参数和域的偏微分方程（PDE）通常依赖于资源密集型的数值方法。基于深度学习的神经算子通过直接从数据中学习物理定律，为 PDE 求解提供了一种有前景的替代方案。然而，当前的神经算子方法仅限于在固定域上求解 PDE。将神经算子扩展至在不同域上求解 PDE，在医学成像、工程设计与制造应用中具有重大潜力，因为这些领域几何与参数的变化至关重要。本文提出了一种名为微分同胚神经算子（DNO）的新型神经算子学习框架，用于求解定义于物理系统的具有不同域和参数的 PDE。其核心思想是：神经算子在一个通用域中进行学习，该通用域通过微分同胚映射自由同一 PDE 描述的各种物理域。以此方式，不同域上的算子学习挑战被转化为通用域上的算子学习。我们提出了一种评估方法，通过计算新域与训练数据集域在微分同胚后的几何相似性，来评估 DNO 在不同域上的泛化性能。我们在 Darcy 流、管道流、翼型流和力学问题上进行了实验，其中分别采用调和参数化和体积参数化作为二维和三维域的微分同胚映射。DNO 框架在不同域和参数上展现了鲁棒的学习能力和强大的泛化性能。