检测高阶梯形 Hochschild 同调中的周期元

给定一个交换环谱 $R$，令 $\Lambda_XR$ 为由 Brun、Carlson 和 Dundas 构造的 Loday 函子。给定素数 $p\geq 5$，我们计算了 $n\leq p$ 时的 $\pi_*(\Lambda_{S^n}H\mathbb{F}_p)$ 和 $\pi_*(\Lambda_{T^n}H\mathbb{F}_p)$，并利用这些结果推导出 $(\Lambda_{T^{n}}H\mathbb{F}_p)^{hT^{n}}$ 的第 $n-1$ 个连通 Morava $K$-理论中的 $v_{n-1}$ 非零，且在同伦不动点谱序列中被一个显式元所检测，我们将该类命名为 Rognes 类。为促进这些计算，我们引入了多重 Hopf 代数。$T^n$ 中的每个轴圆都在 $\pi_*(\Lambda_{T^n}H\mathbb{F}_p)$ 上产生一个 Hopf 代数结构，而这些 Hopf 代数结构的相互作用方式则由多重 Hopf 代数结构编码。该结构对 $\pi_*(\Lambda_{T^n}H\mathbb{F}_p)$ 上可能的代数结构施加了若干限制，是上述计算的关键工具。