停车函数与装饰平面树的 Hopf 代数
组合数学
2021-09-14 v1
摘要
我们基于平面二叉树上 Loday-Ronco 运算构造三个新的组合 Hopf 代数。第一与第二个代数分别定义在平面树与标记平面树上，推广了 Loday-Ronco 与 Malvenuto-Reutenauer Hopf 代数。我们证明后者是双内形（bidendriform）的，这意味着它也是自由的、余自由的和自对偶的。第三个代数将停车函数作为一种装饰二叉树的新可视化；它也是双内形的、自由的、余自由的和自对偶的，因此抽象同构于 Novelli 与 Thibon 的 PQSym 代数。我们在索引这三个 Hopf 代数对象上定义偏序，其中之一在限制到 (m+1)-叉树时，粗化 Bergeron 与 Pr\'eville-Ratelle 的 m-Tamari 序。我们证明对偶基本基元素的乘法由这些序中的区间给出。最后，我们利用 Aguiar 与 Sottile 在 Malvenuto-Reutenauer Hopf 代数上技术的公理化版本，在我们的每个 Hopf 代数上定义单项基，并证明余乘法在单项元素上是余自由的。这尤其意味着平面树 Hopf 代数的余自由性。我们还找到了单项基乘法的显式正公式，以及单项元素对映元的无消去且无分组公式。
引用
@article{arxiv.2109.05434,
title = {Hopf algebras of parking functions and decorated planar trees},
author = {Nantel Bergeron and Rafael S. González D'León and Shu Xiao Li and C. Y. Amy Pang and Yannic Vargas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.05434},
year = {2021}
}