装饰根树 Hopf 代数

在 \cite{Kreimer1,Connes,Broadhurst,Kreimer2} 中,引入了一个(装饰)根树的可交换、非余交换 Hopf 代数 H_R。它与 \cite{Moscovici} 中引入的 Hopf 代数 H_CM 相关。其对偶 Hopf 代数是根树 Lie 代数 L^1 的包络代数。在本文中,我们引入一个非交换、非余交换的装饰平面根树 Hopf 代数 H_PR。我们首先证明 H_PR 是自对偶的。然后我们利用这一结果在 H_PR 上构造一个保持 H_PR 的 Hopf 代数结构的非退化双线性形式 ( , )。此外,我们给出了双线性形式 ( , ) 的组合表达式。这使我们能够给出 H_PR 的本原元素的一组基的直接公式。在接下来的几节中,我们证明 H_PR 同构于 \cite{Frabetti, Brouder} 中引入的平面二叉树 Hopf 代数,并构造一个形式非交换微分同胚子代数。然后我们对 H_PR 的 Hopf 代数自同态与余代数自同态进行分类。在最后几节中,我们给出关于张量余代数的结果,并将它们应用于 H_PR 与 H_R。我们展示了如何由 H_PR 的本原元素构造 H_R 的本原元素,并最终证明 L^1 是一个自由 Lie 代数。