基于曲率与挠率描述二三维线性时不变系统的稳定性

本文聚焦于利用曲率与挠率描述线性时不变系统的稳定性。我们证明对于二维系统 $\dot{r}(t)= Ar(t)$，(i) 若存在初值，使得轨迹曲率当 $t\to+\infty$ 时极限不为零，则系统零解稳定；(ii) 若存在初值，使得轨迹曲率当 $t\to+\infty$ 时极限为无穷，则系统零解渐近稳定。对于三维系统，(i) 若存在 Lebesgue 测度大于零的可测集，使得该集中所有初值对应的轨迹曲率当 $t\to+\infty$ 时极限不为零，则系统零解稳定；(ii) 若系数矩阵可逆，且存在 Lebesgue 测度大于零的可测集，使得该集中所有初值对应的轨迹曲率当 $t\to+\infty$ 时极限为无穷，则系统零解渐近稳定；(iii) 若存在 Lebesgue 测度大于零的可测集，使得该集中所有初值对应的轨迹挠率当 $t\to+\infty$ 时极限不为零，则系统零解渐近稳定。