一类无穷线性微分方程组的稳定性与零能控性

本文研究 $\ell^2$ 空间中一个线性系统的零能控性问题，其中描述该系统的线性算子矩阵是一个无穷矩阵，其主对角线元素为 $\lambda\in \mathbb R$，上方次对角线元素均为 1。我们证明，该系统渐近稳定当且仅当 $\lambda\le-1$，这揭示了有限维与无穷维系统之间的细微差异。当 $\lambda\le-1$ 时，我们还证明该系统是大范围零能控的。此外，我们展示了稳定性对范数的依赖性，即同一个系统在 $\ell^\infty$ 空间中考虑时，若 $\lambda=-1$ 则不是渐近稳定的。