具有微异质预应变的杆件均匀化弯扭理论的推导

本文研究由非线性弹性复合材料制成的杆件，其具有微异质预应力，该预应力在相对于杆长很小的尺度上振荡（局部周期）。作为主要结果，我们在预应力为杆直径量级的前提下，通过同时均匀化与降维，从三维非线性弹性导出杆件的均匀化弯扭理论，作为 $\Gamma$-极限。极限模型具有一个自发的曲率-扭率张量，刻画了微异质预应变的宏观效应。我们给出一个公式，借助给定预应变的加权平均来计算该自发曲率-扭率张量。平均中的权重依赖于复合材料的几何，并引入由线性弹性方程组的边值问题所定义的正确子。正确子的定义依赖于一个相对缩放参数 $\gamma$，它监控杆直径与复合材料微结构周期之比。我们观察到一种有趣的尺寸效应：对于相同预应力，仅改变 $\gamma$ 的值即可使极小化子从平坦过渡到弯曲。此外，本文解析地研究了各向同性层状复合材料情形下的微结构-性质关系，并考虑了向向列相液晶弹性体杆与形状编程的应用。