一维无序薛定谔算符中反射共振的密度

我们开发了一种解析方法，用于评估具有白噪声随机势的一维无序样品纯反射问题中，具有实能量 $\mathcal{E}$ 和宽度 $\Gamma$ 的复共振极点的密度 $\rho ({\cal E},\Gamma)$。我们首先建立了共振密度与反射系数 $r=|R(E,L)|^2$ 分布之间的一般联系，其中 $R(E,L)$ 是反射振幅，在复能量 $E = {\cal E} +i\eta$ 处，将参数 $\eta>0$ 等同于无序介质内的均匀吸收率。我们证明，利用这种联系可以对弱无序极限下的共振密度进行详细分析。特别是，对于（半）无限样品，它给出了 $\rho ({\cal E},\Gamma)$ 的显式公式，以统一的方式描述了从窄共振到宽共振的过渡。类似地，我们的方法为短无序样品（其尺寸远小于局域化长度）的相反情况给出了 $\rho ({\cal E},\Gamma)$ 的极限公式。这一区域似乎在之前的文献中未被系统性地研究过，相应的分析需要在散射问题中精确且相当复杂地实现 WKB 类渐近。最后，我们数值研究了一维 Anderson 紧束缚模型的共振统计，并将结果与我们的解析表达式进行了比较。