树上安德森模型的弱无序展开

我们展示了树上安德森模型的某些性质如何与一个非线性积分方程的解相关联。例如，波函数是扩展的还是局域的，对应于该方程是否有复数解。我们展示了如何在弱无序展开中求解该方程。我们发现，对于小的无序强度 $\lambda$，存在一个能量 $E_c(\lambda )$，高于该能量时，态密度和导电性质在微扰论的所有阶上都消失。我们微扰计算了线 $E_c(\lambda )$ 的位置，该线在零无序极限下从纯系统的带边开始。在纯系统的带内，态密度和导电性质可以微扰计算。由于小分母，该展开在 $E_c(\lambda )$ 附近失效。我们展示了如何通过选择合适的能量标度来重新求和。对于大于 $E_c(\lambda )$ 的能量，我们表明非微扰效应对态密度有贡献，但无法确定它们是否也对导电性质有贡献。