Morrey 不等式极值函数的衰减性

我们研究 $\mathbb{R}^n$ 中 Morrey 不等式极值函数在无穷远处的衰减性。这些函数满足 $$\displaystyle \sup_{x\neq y}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{1-\frac{n}{p}}}= C(p,n)\|\nabla u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} ,$$ 其中 $p>n$ 且 $C(p,n)$ 为 Morrey 不等式中的最优常数。我们证明若 $n \geq 2$,则任意极值函数对任一 $$\beta<-\frac13+\frac{2}{3(p-1)}+\sqrt{\left(-\frac13+\frac{2}{3(p-1)}\right)^2+\frac13}$$ 均具有阶为 $\beta$ 的幂次衰减。