非等谱耦合Gross-Pitaevskii方程的达布变换及其多分量推广

我们将单分量Gross-Pitaevskii方程推广到带有阻尼项、线性和抛物线密度轮廓的双分量耦合情形，然后给出该耦合系统的Lax对和无穷多守恒律。该系统是非自治的，即它容许一个非等谱线性特征值问题。事实上，针对这类本质上不同于等谱情形的非均匀系统，我们重构了该耦合Gross-Pitaevskii方程的达布变换。通过达布变换还获得了多非自治孤子、一个呼吸子和一阶怪波。当 $\beta >0$ 时，孤子的振幅和速度随 $t$ 增大而指数衰减，否则随 $t$ 增大而指数增长。同时，新谱参数的实部 $Re(\xi_j)$'s~$(j=1,2,3,\dots)$ 决定了孤子传播的方向，而 $\alpha$ 影响孤子的局域化。选择 $Re(\xi_1)=Re(\xi_2)$，得到双孤子束缚态。从非零背景种子解出发，我们构造了弯曲背景上的一个非自治呼吸子，并发现由于指数衰减项，该呼吸子沿 $t$ 方向发生某些形变。此外，$\beta$ 决定了该弯曲背景的程度，若设 $\beta>0$，呼吸子的振幅随 $t$ 增大而变小直至为零。通过对呼吸子取适当极限，可获得一阶怪波。最后，我们给出Gross-Pitaevskii方程的多分量推广及其带非等谱参数的Lax对，同时也构造了该多分量推广的达布变换。