测地流中 Lyapunov 指数水平集的曲率刚性

本文通过研究 Lyapunov 指数水平集中的不变测度，建立了新的几何刚性结果。首先，我们证明，对一个无焦点的流形 $M$，若零 Lyapunov 指数水平集相对于一个全支撑不变测度具有全测度，则 $M$ 必须为平坦。这一结果恢复并扩展了 Freire 和 Ma\~n\'e (见 [9]) 的结果。其次，我们证明，如果 Lyapunov 指数水平集相对于某个全支撑测度具有全测度，则曲率必须为常数。这一结果推进了对 [17] 中第 1 段猜想的解决。进一步，我们在没有共轨点流形上的 $1$-等价测地流之间建立了曲率关系，给出了新的判据来阻止这些流形上无共轨点流的光滑共轭。我们的技术为 [17] 中所有刚性结果提供了统一的证明，并附加地为在无共轨点情形下的全等距子流形提供了刚性定理。值得注意的是，若干关键结果在紧凑性假设下仍然成立。