负曲率的遍历标架流对秩刚性的推论

本文给出负曲率空间的一个秩刚性结果。设 $M$ 为具负截面曲率的紧流形,并设沿 $M$ 中每条测地线存在一个与测地线方向成曲率 $-a^2$ 的平行向量场。我们证明:若 $M$ 为奇维,或 $M$ 为偶维且截面曲率挤压满足 $-\Lambda^2 < K < -\lambda^2$,其中 $\lambda/\Lambda > .93$,则 $M$ 具有等于 $-a^2$ 的常曲率。当 $a$ 为极值,即 $-a^2$ 为该流形的曲率极小或极大值时,此结果类似于其他各种曲率环境下的秩刚性结果,其中高秩蕴含该空间为局部对称的。特别地,此结果是下秩(即 $-a^2$ 为极小)的首个正向结果,且在上秩情形于偶维挤压条件下给出了 Hamenstädt 双曲秩刚性定理的一个更简短证明。我们还仅利用对极大 Lyapunov 指数的假设给出一个刚性结果,直接类比于 Connell 的工作。我们主定理的证明使用了 Brin 等人发展的标架流的遍历理论——特别地,该流相伴的传递群。