$\ell^{p}$ 约束下的 Curie-Weiss 模型与广义 Hubbard-Stratonovich 变换

我们考虑完全图上的 Ising Curie-Weiss 模型，该模型受给定 $\ell^{p}$ 范数的约束，其中 $p>0$。当 $p=\infty$ 时，它退化为经典的 Ising Curie-Weiss 模型。我们证明，对于所有 $p>2$，存在 $\beta_{c}(p)$，使得当 $\beta<\beta_{c}(p)$ 时，磁化强度集中在零附近并满足适当的高斯中心极限定理。相反，当 $\beta>\beta_{c}(p)$ 时，磁化强度集中在 $\pm m_\ast$ 附近，其中 $m_\ast>0$。对于 $p>2$，有 $\beta_{c}(p)>1$，且 $\lim_{p\to\infty}\beta_{c}(p)=3$。我们进一步将模型推广到一般的对称自旋分布，并证明了类似的相变。对于 $0<p<1$，对数配分函数以 $n^{2/p-1}$ 的量级标度。证明基于广义 Hubbard-Stratonovich (GHS) 变换，该变换本身具有独立的研究价值。