临界 Ising 模型在稀疏随机图上的磁化分布

在本文中，我们考虑临界温度下随机 $d$-正则图（$d\ge3$）和 Erdős-Rényi 图 $G(n,d/n)$（$d>1$）上的 Ising 模型。我们证明磁化强度，即一个构型中自旋之和，通常为 $n^{3/4}$ 量级，当乘以 $n^{-3/4}$ 后依分布收敛到一个非平凡的随机变量，我们描述了其密度。在正则图情形下，小子图条件化方法适用，极限密度具有 $\frac{1}{Z}\exp(-C_d z^4)$ 的形式。令人惊讶的是，在 Erdős-Rényi 情形下，虽然二阶矩与一阶矩平方之比是有界的，但短圈计数不足以解释限制在特定磁化强度下的配分函数的涨落。我们将额外的随机性来源识别为缓慢发散长度的路径计数。这个量由一个启发式观点所驱动，即远距离顶点之间的相关性与其局部分支率成正比。将小子图条件化方法与这些路径计数相结合，使我们能够证明磁化强度收敛到一个非确定性极限分布。据我们所知，对图可观测量（超出圈计数）的条件化需求是自旋系统中的一个新现象。作为进一步的推论，我们推导了临界温度下稀疏随机图上随机 Ising 模型的混合时间的多项式下界，补充了近期关于上界的结果。此外，我们建立了 Erdős-Rényi 情形下自由能的涨落，回答了 Coja-Oghlan 等人最近提出的问题。