Erdős-Rényi随机图上的Glauber动力学

我们研究无序对具有Glauber动力学的Curie-Weiss模型的影响。具体地，我们研究具有 $n$ 个顶点、边保留概率 $p \in (0,1)$ 的Erdős-Rényi随机图 $ER_n(p)$ 上的自旋翻转动力学中的亚稳态。每个顶点携带一个可取 $-1$ 或 $+1$ 值的Ising自旋。单个自旋与外磁场 $h \in (0,\infty)$ 相互作用，而由边相连的顶点对之间的自旋以铁磁相互作用强度 $1/n$ 相互交互。自旋依据逆温度 $\beta$ 下的Metropolis动力学翻转。标准Curie-Weiss模型对应 $p=1$ 的情形，因为 $ER_n(1) = K_n$ 是 $n$ 个顶点上的完全图。对于 $\beta>\beta_c$ 且 $h \in (0,p \chi(\beta p))$，系统在 $n\to\infty$ 极限下展现\emph{亚稳态行为}，其中 $\beta_c=1/p$ 为\emph{临界逆温度}，$\chi$ 为某个满足 $\lim_{\lambda\to\infty} \chi(\lambda) =1$ 与 $\lim_{\lambda \downarrow 1} \chi(\lambda)=0$ 的\emph{阈值函数}。我们计算了从\emph{亚稳态集}（磁化对应“负相”）到\emph{稳态集}（磁化对应“正相”）的平均交叉时间。我们证明平均交叉时间随 $n$ 指数增长，其指数与具有外磁场 $h$、铁磁相互作用强度 $p/n$ 的Curie-Weiss模型相同。我们证明指数渐近的修正项是一个乘性误差项，其\emph{至多关于 $n$ 为多项式}。对于完全图 $K_n$，已知修正项为乘性常数。