Glauber 动力学在 p 自旋 Curie-Weiss 模型中的混合相态与金属化

Glauber 动力学对于具有 N 个节点、反温度为 $\beta$ 且无外场的经典 $2$ 自旋 Curie-Weiss 模型已知，在 $\beta < \frac{1}{2}$ 时混合时间为 $\Theta(N\log N)$，在 $\beta = \frac{1}{2}$ 时为 $\Theta(N^{3/2})$，而在 $\beta > \frac{1}{2}$ 时为 $\exp(\Omega(N))$。本文考虑带外场 $h$ 的 $p$ 自旋 Curie-Weiss 模型的 $p$ 自旋推广，并识别出三个几乎覆盖整个参数空间的互不相交的区域，这些区域对应的 Glauber 动力学呈现三种不同的混合时间。这些互不相交区域的构建依赖于函数 $H_{\beta,h,p}$ 的局部极大值点的数量，以及 $H_{\beta,h,p}$ 在这些局部极大值点处的二阶导数的行为。具体地，我们证明，如果 $H_{\beta,h,p}$ 只有一个局部极大值 $m_*$，且 $H_{\beta,h,p}''(m_*) < 0$，且不存在其他平稳点，则 Glauber 动力学混合时间为 $\Theta(N\log N)$；如果 $H_{\beta,h,p}$ 有多个局部极大值，则混合时间为 $\exp(\Omega(N))$。最后，如果 $H_{\beta,h,p}$ 只有一个局部极大值 $m_*$，且 $H_{\beta,h,p}''(m_*) = 0$，则混合时间为 $\Theta(N^{3/2})$。我们对这三种不同相态在参数空间中的几何结构作了明确描述，注意到唯一未被这三个区域并覆盖的平面部分是一个一维曲线，在该曲线上，函数 $H_{\beta,h,p}$ 拥有平稳拐点。确定该曲线上混合时间的确切阶仍是未解之谜。最后，我们指出，如果 $H_{\beta,h,p}$ 有多个局部极大值（金属化态），则可构建原始 Glauber 动力学的受限版本，其混合时间仍为 $\Theta(N\log N)$。