来自蝴蝶结构的密码学强置换

在本文中，我们由广义蝴蝶结构给出 $\mathbb{F}_{2^{2n}}$ 上具有高非线性和回飞镖均匀度 $4$ 的无限族置换。开放与封闭蝴蝶结构均被考虑。根据实验结果，开放蝴蝶似乎不能产生回飞镖均匀度为 $4$ 的置换。对于封闭蝴蝶，我们提出系数 $\alpha, \beta \in \mathbb{F}_{2^n}$ 上的条件，使得函数 $$V_i := (R_i(x,y), R_i(y,x))$$ 其中 $R_i(x,y)=(x+\alpha y)^{2^i+1}+\beta y^{2^i+1}$ 是 $\mathbb{F}_{2^n}^2$ 上回飞镖均匀度为 $4$ 的置换，这里 $n\geq 1$ 为奇数且 $\gcd(i, n)=1$。本文的主要结果由两部分组成：$V_i$ 的置换性质依单变量形式考察，回飞镖均匀度依原双变量形式考察。此外，$n=3, 5$ 的实验结果表明所提条件似乎覆盖了所有产生回飞镖均匀度为 $4$ 的置换 $V_i$ 的系数 $\alpha, \beta \in \mathbb{F}_{2^n}$。然而，实验结果显示该二次置换 $V_i$ 似乎仿射等价于 Gold 函数。因此，遗憾的是，我们可能无法从蝴蝶结构获得具有回飞镖均匀度 $4$ 的新置换。