具有背景态的无压 Euler--Poisson 方程中的临界阈值

我们研究了一大类具非零背景态的一维无压 Euler--Poisson (EP) 方程中的临界阈值现象。首先，我们在适当的正则性空间中建立了局部时间适定性，这些空间是为满足特定的\textit{中性条件}而适配的。我们证明了中性条件是必要的：我们构造了表现出中性条件瞬时失效的光滑解，这进而导致即使在经典 Sobolev 空间 $H^s({\mathbb R})$ ($s \geq 2$) 中，解在局部时间内也不存在。接下来，我们研究满足中性条件的无压 EP 系统中的临界阈值现象，并区分两种情况。我们证明，在吸引力作用下，中性条件可进一步将次临界区域限制在其边界上，即相平面中的次临界区域缩减为一条单线。随后，我们对具有可变背景的排斥性 EP 系统中的临界阈值给出了相当确定的答案。作为应用，我们分析了冷等离子体离子动力学阻尼 EP 系统的临界阈值，其中电子密度由\textit{Maxwell--Boltzmann 关系}给出。