半线性三阶发展方程的临界指数与尖锐生命跨度估计

我们研究具有分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\sigma}$ 和幂非线性项 $|u|^p$ 的半线性三阶（时间）发展方程，该方程最近由 Bezerra-Carvalho-Santos [2] 提出。在本文中，对于 $n\leqslant\frac{10}{3}\sigma$，我们得到了一个新的临界指数 $p=p_{\mathrm{crit}}(n,\sigma):=1+\frac{6\sigma}{\max\{3n-4\sigma,0\}}$。确切地说，对于超临界情形 $p>p_{\mathrm{crit}}(n,\sigma)$，我们证明了小初值 Sobolev 解的全局（时间）存在性；而当 $1<p\leqslant p_{\mathrm{crit}}(n,\sigma)$ 时，即使对于小初值，弱解也会在有限时间内爆破。此外，为了更精确地描述爆破时间，我们在次临界情形和临界情形下推导出了生命跨度的新的、尖锐的上界和下界估计。