半线性阻尼波方程的新临界指数：来自负阶Sobolev空间的初始数据

本文旨在研究具有幂非线性项且初始数据属于负阶Sobolev空间$\dot{H}_m^{-\gamma}$的半线性阻尼波方程的临界指数。具体地，我们得到一个新的临界指数$$p_{\rm c}(m,\gamma,n): = 1 + \frac{2m}{n+m\gamma}$$其中$m \in (1, 2]$，$\gamma \in \big[0, \frac{n(m-1)}{m}\big)$。我们通过证明当$p \geq p_{\rm c}(m,\gamma,n)$时，小数据Sobolev解的全局存在性；以及当$1 < p < p_{\rm c}(m,\gamma,n)$时，即使数据很小，弱解也会在有限时间内爆炸，从而得到临界指数的精确结果。值得注意的是，本文的新颖之处在于临界值$p= p_{\rm c}(m,\gamma,n)$恰好落在全局存在范围内。此外，我们将给出爆炸现象发生时解的寿命估计。