覆盖定理与勒贝格积分

本文展示了如何将勒贝格积分作为黎曼和得到，并将 Morse 覆盖定理推广到开集。设 $X$ 为有限维赋范空间；设 $\mu$ 为 $X$ 上的 Radon 测度，设 $\Omega\subseteq X$ 为 $\mu$-可测集。对 $\lambda\geq1$，若对某个 $r>0$ 有 $B(a,r)\subseteq S_{\lambda }(a)\subseteq B(a,\lambda r)$ 且 $S_{\lambda}(a)$ 关于闭球 $B(a,r)$ 中所有点星形，则称 $\mu$-可测集 $S_{\lambda}(a)\subseteq X$ 为带标记 $a\in S_{\lambda}(a)$ 的 $\lambda$-Morse 集。给定规度 $\delta:\Omega \to(0,1]$，若 $B(a,\lambda r)\subseteq B(a,\delta(a))$ 则称 $S_{\lambda}(a)$ 为 $\delta$-细。若 $f\geq0$ 为 $\Omega$ 上的 $\mu$-可测函数，则 $\int_{\Omega}f d\mu=F\in\mathbb{R}$ 当且仅当对某个 $\lambda\geq1$ 及所有 $\epsilon>0$，存在规度函数 $\delta$ 使得对所有互不相交且 $\delta$-细、并覆盖 $\Omega$ 中除 $\mu$-零子集外所有部分的 $\lambda$-Morse 集序列有 $|\sum_{n}f(x_{n}) \mu(S(x_{n}))-F|<\epsilon$。此过程可分别应用于 $\Omega$ 上实值函数的正部和负部。覆盖条件 $\mu(\Omega\setminus\cup_{n}S(x_{n}))=0$ 可由 Morse 覆盖定理满足。此处给出的改进版本说：对固定 $\lambda\geq1$，若 $A$ 为一族 $\lambda$-Morse 集的中心之集合，则 $A$ 可被原族中至多 $\kappa$ 个两两不相交子族的集之内部覆盖；并给出了 $\kappa$ 依 $\lambda$、$X$ 及其范数的估计。