关于Levi-Civita域$\mathcal{R}$上一种类勒贝格积分

Levi-Civita域$\mathcal{R}$是实数的最小非阿基米德有序域扩张，它在序诱导拓扑下是实闭且柯西完备的。本文在$\mathcal{R}$上发展了一种新的积分理论，该理论推广了该主题的先前工作，同时规避了$\mathcal{R}$中并非每个有界子集都有下确界或上确界这一事实。我们定义了一个新的可测函数族和一个在$\mathcal{R}$的可测子集上的新积分，该积分满足一些与实值函数的勒贝格和黎曼积分类似的重要结果。特别地，我们证明了可测函数族构成一个在取绝对值下封闭的代数，积分是线性的、可数可加且单调的，非负函数$f:A\to\mathcal{R}$的积分为零当且仅当$f$在$A$上几乎处处为零，并且一致收敛定理和微积分基本定理的类似版本成立。