实值测度在 $\mathbb{R}$ 的非阿基米德域扩张上

我们在扩展实数域 $(\mathbb{R},<)$ 的非阿基米德有序域 $(\mathbb{F},<)$ 上引入一种实值测度 ${m_L}$。${m_L}$ 的定义受鲁宾逊无穷小分析中超实域的 Loeb 测度启发。该实值测度 ${m_L}$ 具有足够的普遍性，可为 $\mathbb{R}$ 的每个勒贝格可测子集在 $\mathbb{F}$ 中得到典范可测代表元，且两集合的测度相等。此外，$m_L$ 比一类非阿基米德一致测度更具表达力。我们聚焦于当 $\mathbb{F}=\mathcal{R}$（列维-奇维塔域）时该实值测度的性质。特别地，我们将 ${m_L}$ 与 Shamseddine 和 Berz 所发展的 $\mathcal{R}$ 上非阿基米德一致测度进行比较，并证明在后者有定义时前者与后者无穷小接近。我们还定义了列维-奇维塔域上函数的实值积分，并证明每个实连续函数在 $\mathcal{R}$ 中都有可积代表元。须知对于当前 $\mathcal{R}$ 上的非阿基米德积分该结论不成立。本文最后讨论了狄拉克分布在非阿基米德域上由点态函数表示的问题。