关于 Levi-Civita 域 $\mathcal{R}$ 上的一种新测度

Levi-Civita 域 $\mathcal{R}$ 是实数的最小非阿基米德有序域扩张，它在由序诱导的拓扑下是实闭且 Cauchy 完备的。在早前论文 [Shamseddine-Berz-2003] 中，以集合被可数区间并的内覆盖与外覆盖长度之和在内外和相互逼近时的极限定义了 $\mathcal{R}$ 上的一种测度。该定义对建立 $\mathcal{R}$ 上的积分理论颇有助益，其中积分满足实分析 Lebesgue 积分的诸多本质性质。然而，该测度理论缺乏任何合理测度定义所预期的一些直观结果；例如，一个可测集在另一可测集中的补集未必可测。本文中，我们给出 [Shamseddine-Berz-2003] 所定义可测集的一个刻画。随后我们引入 $\mathcal{R}$ 上外测度的概念并展示外测度的一些关键性质。最后，我们利用外测度概念定义 $\mathcal{R}$ 上的一种新测度，它证明是 Lebesgue 测度从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathcal{R}$ 的更好推广，并导出 $\mathcal{R}$ 中一类可测集族，其严格包含 [Shamseddine-Berz-2003] 的可测集族，且 $\mathbb{R}$ 中 Lebesgue 可测集的经典结果大多成立。