关于选定理想（尤其是由树定义的理想）的不可测集及其并集

本文考虑关于由树定义的σ-理想的不可测性。此类理想的第一个经典例子是Marczewski理想s_0。我们还将考虑由Laver树定义的理想l_0和由Miller树定义的理想m_0。借助上述理想，可以考虑s-可测性、l-可测性和m-可测性。我们证明了Baire空间存在一个子集A，它同时是s-不可测、l-不可测和m-不可测的。此外，A构成一个m.a.d.族，且该族也是支配族。我们展示了Baire空间的一些子集例子，它们在一种意义下可测，而在另一种意义下不可测。我们还考察了术语“不可测”和“完全不可测”（关于若干具有Borel基的理想）。已有若干论文致力于寻找作为某些小集族之并的（完全）不可测集。本文中，我们希望聚焦于以下问题：“设P为一小集族。是否可能对于所有作为P子集的A，A的并集不可测蕴含A的并集完全不可测？”我们将考虑P是实数集R的一个划分、P是点有限族以及P是点可数族的情形。我们利用术语“不可测”和“完全不可测”给出了一个与连续统假设（CH）等价的陈述。