一种混合规模卡尔氏测度：桥接 Lebesgue 体积与曲面内容

我们引入一族参数为 $lambda > 0$ 的 Borel 正则测度，将其增强为 Lebesgue 测度，通过在尺度不变的余维1边界结构处添加惩罚。利用对数正测度构造中的卡尔氏外测度，以混合规模 $h_λ(r) = r^n + λ r^{n-1}$ 构造得到的测度 $μ_λ$ 无缝地将 $n$ 维体积与 $(n-1)$ 维曲面贡献组合在单个 $σ$-可加框架中。关键结果包括：(i) $μ_λ$ 为度量外测度，所有 Borel 可测集且 Borel 正则；(ii) 比例性质 $μ_λ(tE) = t^n μ_{λ/t}(E)$ 对 $t > 0$；(iii) 对有界 Lipschitz 域 $Ω$，维数常数 $c_n, C_n > 0$ 满足 $c_n (|Ω| + λ mathcal{H}^{n-1}(∂Ω)) ≤ μ_λ(Ω) ≤ C_n (|Ω| + λ mathcal{H}^{n-1}(∂Ω))$，直接将 $μ_λ$ 与周长关联。这解决了 Lebesgue 测度对边界复杂度的忽视，同时保持与卡尔氏-豪斯蒙德范式的兼容性。潜在应用包括不规则域上的鲁棒数值积分、图像和形状处理中的周长正则化函数以及边界感知的概率建模。在 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{R}^2$ 中提供示例，并与米氏内容及有限周长集相关。开放问题包括最优常数、BV 空间中的 coarea 公式以及向可测集的扩展。