Lyapunov 凸性定理到子值域的推广

考虑一个具有有限向量测度的可测空间。该测度将 σ-域映射到欧几里得空间。根据 Lyapunov 凸性定理，该映射的值域是紧致的，并且如果测度是无原子的，则该值域是凸的。类似的值域也针对空间的可测子集定义。我们证明了所有具有相同给定向量测度的子集的值域的并集也是紧致的，并且如果测度是无原子的，则该并集是凸的。我们进一步在欧几里得空间中几何构造了一个包含该并集的凸紧集。这两个集合的相等性对于二维测度成立，但在更高维度中可能被违反。