关于测度空间中沿滤子的积分微分：II
泛函分析
2024-07-26 v1 范畴论
摘要
设 为一个有限测度的完备测度空间。 上可积函数 的 Lebesgue 变换编码了 在 的所有正测度可测子集上的所有均值的集合。在积分微分问题中，人们试图从其 Lebesgue 变换中恢复 。在先前的工作中，我们表明，在所有已知结果中， 可以通过一个与定义在 的所有正测度可测子集族上的适当滤子族相关联的极限过程从其 Lebesgue 变换中恢复。本工作的第一个结果是，这种极限过程的存在性等价于 的 Von Neumann-Maharam 提升的存在性。在本工作的第二个结果中，我们提供了一个独立的论证，表明求助于滤子是从 的均值恢复 的过程与范畴论意义上的自然变换相关联这一要求的必然结果。该结果本质上源于 Yoneda 引理。据我们所知，这是范畴论与积分微分问题之间显著交互的第一个实例。在附录中，我们以精确的意义证明了自然变换属于同态的一般概念。据我们所知，这是一个新颖的结论：尽管人们常说自然变换是函子的同态，但这一陈述似乎仅作为一种类比提出，而非在精确的技术意义上。为了实现这一结果，我们必须将一个在该学科中隐含但一直隐藏在背景中的概念，即偏原群的概念，推向前台。
引用
@article{arxiv.2404.13157,
title = {On the differentiation of integrals in measure spaces along filters: II},
author = {Fausto Di Biase and Steven G. Krantz},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.13157},
year = {2024}
}