无限体积测度的均值、无限积与启发式无限维勒贝格测度

本文的目标之一是为描述无限测度乘积空间上的均值（归一化积分或不变均值）建立一个统一的框架。我们首先注意到，来自度量测度空间理论和振荡积分的一些已知例子可以视为有限测度均值的极限。然后，我们系统地探讨了形如 $$\lim \frac{1}{\mu(U_n)} \int_{U_n} f d\mu$$ 的均值极限，其中 $\mu$ 是 $\sigma$-有限拉东测度。在某些情况下，我们得到了无穷远处极限的线性延拓。接着，定义了无限乘积上的均值，首先针对柱函数，然后通过一致极限推广。最后，定义了可分无限维拓扑向量空间（主要是在希尔伯特空间上）中启发式勒贝格测度的均值。我们证明了该均值在平移、缩放和限制下具有不变性。