协变比特线

我们推导了 Hubeny-Rangamani-Takayanagi (HRT) 协变全息纠缠熵公式的几种新重构形式。这些包括：(1) 一个极小极大公式，涉及在同源（homologous）于 D(A)（我们正在计算其熵的区域 A 的边界因果域）的类时超曲面上寻找最大面积非时序（achronal）曲面，并对超曲面取极小；(2) 一个最大 V-流公式，其中我们在 D(A) 上最大化无散度体（bulk）1-形式 V 的通量，其约束为其范数具有时间非局域性的上界；以及 (3) 一个极小 U-流公式，其中我们在体柯西切片上最小化无散度类时 1-形式 U 的通量，其约束为其范数具有空间非局域性的下界。这两个流公式定义了凸规划，并通过拉格朗日对偶相互关联。对于每个规划，最优构型会动态地找到 A 及其补的 HRT 曲面和纠缠楔。V-流公式是 Freedman-Headrick 比特线（bit thread）对 Ryu-Takayanagi 公式重构的协变版本。我们还引入了“线分布”的测度论概念，并解释了黎曼流、V-流和 U-流如何用语线分布表示。