带 Lévy 噪声的随机哈密顿系统指数遍历性的耦合方法

我们建立了 $\mathbb{R}^{2d}$ 上带 Lévy 噪声的随机哈密顿系统 $(X_t, V_t)_{t\ge0}$ 的指数遍历性 \begin{align*} \begin{cases} \mathrm{d} X_t=\big(a X_t+bV_t\big)\,\mathrm{d} t,\\ \mathrm{d} V_t=U(X_t,V_t)\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} L_t, \end{cases} \end{align*} 其中 $a\ge 0$，$b> 0$，$U:\mathbb{R}^{2d}\to\mathbb{R}^d$，且 $(L_t)_{t\ge0}$ 为 $\mathbb{R}^d$-值纯跳跃 Lévy 过程。该方法基于针对 Lévy 过程的一种新的精细化基本耦合，以及随机哈密顿系统的 Lyapunov 函数。特别地，我们可处理 $U(x,v)=-v-\nabla U_0(x)$ 且双势阱势 $U_0$ 在无穷远处超线性增长的情形，例如 $U_0(x)=c_1(1+|x|^2)^l-c_2|x|^2$（$l>1$）或 $U_0(x) = c_1\mathrm{e}^{(1+|x|^2)^l} - c_2|x|^2$（$l>0$，任意 $c_1,c_2>0$）；亦可处理 $(L_t)_{t\ge0}$ 的 Lévy 测度 $\nu$ 退化情形，即对某些 $c>0$ 与 $\theta_0\in (0,2)$ 有 $$\nu(\mathrm{d} z)\ge \frac{c}{|z|^{d+\theta_0}} \mathbb{I}_{\{0<z_1\le 1\}}\,\mathrm{d} z$$，其中 $z_1$ 为向量 $z\in \mathbb{R}^d$ 的第一个分量。