夫妇亦可易处理：医院/居民问题与夫妇的新算法及困难性结果

在本文中，我们研究带夫妇的医院/居民问题（HRC），其解为一个稳定匹配或报告不存在这样的匹配。我们提出了一种新颖的多项式时间算法，可在 HRC 实例中寻找近可行稳定匹配（将医院容量调整至多 1），其中夫妇的偏好是次响应式的（即若一方切换到更好的医院，则夫妇也改善）和次完备的（即对每个成员各自可接受且共同可接受的医院对，夫妇联合可接受），方法是将该问题归约到稳定装置问题的一个实例。我们还提出了针对次响应式、次完备实例中双市场情形或所有夫妇属于若干可能类型之一的 HRC 的多项式时间算法。我们表明该算法也意味着稳定 b-匹配问题（其底层图为带环多重图）的多项式时间可解性。我们以若干困难性结果补充了我们的算法。我们表明，即便在其他强限制下，带次响应式与次完备夫妇的 HRC 是 NP-难的。我们还表明，在若干同时限制下，带双市场的 HRC 是 NP-难的。最后，我们表明在 HRC 中寻找具有最少阻塞对数目的匹配的问题，对任意 $\varepsilon>0$ 不能被近似到 $m^{1-\varepsilon}$ 以内（其中 $m$ 为医院偏好表的总长度），除非 P=NP，即便每对夫妇仅申请一对医院。我们的多项式时间可解性结果极大扩展了已知的 HRC 可处理实例类，并为未来设计更好更高效的机制提供了有用工具。