医院/居民问题中的社会稳定匹配

在医院/居民（HR）问题中，主体被划分为医院和居民。每个主体都希望与另一集合中的主体相匹配，并对这些潜在匹配具有严格偏好。若不存在阻碍对，即不存在两个主体相比各自被分配的匹配更偏好彼此，则该匹配是稳定的。这种情况是不理想的，因为它可能导致偏离的发生，即阻碍对在匹配之外达成私下安排。然而，这假设了阻碍对之间存在社会联系或沟通渠道以促成该偏离。放宽稳定性的定义以考虑主体间可能缺乏社会联系的情况，可以得到更大的稳定匹配。在本文中，我们定义了社会稳定下的医院/居民问题（HRSS），通过在 HR 问题中引入一个社会网络图来考虑主体间的社会联系。社会网络图中的边对应于 HR 实例中彼此认识的居民-医院对。在社会网络图中没有对应边的配对可以属于匹配 $M$，但它们永远不能阻碍 $M$。基于 HRSS 的放宽稳定性定义（称为社会稳定性），我们证明了社会稳定匹配可以具有不同的大小，并且寻找最大社会稳定匹配的问题是 NP 困难的，但可以在 3/2 的比例内近似。此外，我们针对该问题的三种特殊情况给出了多项式时间算法。