$\mathbb{P}^1_{2,2,2,2}$中全纯轨形球面的计数与行列式方程

我们计算了椭圆曲线的 $\mathbb{Z}_2$-商中的全纯轨形球面的数量。我们首先证明全纯轨形球面与 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \sqrt{-1} (\subset \mathbb{C})$ 的子格之间存在显式对应。于是，计算指数为 $d$ 的子格的数量问题归结为求方程 $\alpha \delta - \beta \gamma = d$ 在等价意义下的整数解个数。