椭圆曲线点计数与二次型有同余条件解的关系

本文分析二次型 $Q(\mathbf{x}) := x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ 随 $x_i$ 对 $2, 3, 4, 6$ 取模的同余条件下的 theta 系列。通过对权重为 $2$ 的非全谐埃尔米特级数的特殊算子，我们构建了 $2^k$（$k \leq 7$）、$3^{\ell}$（$\ell \leq 3$）以及 $p$（其中 $p>3$ 为奇素数）的埃尔米特空间基。利用椭圆曲线上 Frobenius 迹与 $Q$ 对应 theta 系列阴影部分傅里叶系数的关系，我们在 $p$ 满足 certain 同余条件下，建立了方程 $Q(\mathbf{x}) = p$ 的整数解数与其关联椭圆曲线在 $\mathbb{F}_p$ 上的 $\mathbb{F}_p$ 有理点数之间的关系。