实直线上 Kawahara 方程的收敛问题

本文考虑具有粗糙数据的实直线上 Kawahara 方程 \begin{eqnarray*} &&u_{t}+\alpha\partial_{x}^{5}u+\beta\partial_{x}^{3}u+\partial_{x}(u^{2})=0 \end{eqnarray*} 的收敛问题。首先，利用 Strichartz 估计以及高低频思想，我们建立了两个关键的双线性估计，即本文的引理 3.1–3.2；我们还给出了引理 3.3 的证明，该引理表明 $s>-\frac{1}{2}$ 是引理 3.2 成立的必要条件。其次，利用频率截断技术和高低频技术，我们证明了具有 $H^{s}(\R)(s\geq\frac{1}{4})$ 中粗糙数据的 Kawahara 方程的点态收敛；更确切地说，我们证明 \begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{t\rightarrow0}u(x,t)=u(x,0), \qquad a.e. x\in\R, \end{eqnarray*} 其中 $u(x,t)$ 是具初值 $u(x,0)$ 的 Kawahara 方程的解。最后，我们证明 \begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{t\rightarrow0}\sup\limits_{x\in\SR}|u(x,t)-U(t)u_{0}|=0 \end{eqnarray*} 对 $H^{s}(\R)(s>-\frac{1}{2})$ 中的粗糙数据成立。