圆上低正则性空间中浅水型方程的柯西问题

在本文中，我们研究周期设置下且 $\lambda\geq1$ 时具有低正则性数据的浅水型方程 $$u_{t}+\partial_{x}^{3}u + \frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2})+\partial_{x} (1-\partial_{x}^{2})^{-1}\left[u^{2}+\frac{1}{2}u_{x}^{2}\right]=0,x\in {\mathbf T}=\R/2\pi \lambda$$ 的柯西问题。我们证明了在 $X_{s,b}$ 中当 $s<\frac{1}{2}$ 时的双线性估计不成立。我们还证明了对于小初值，该问题在 $H^{s}(\mathbf{T})$ 中当 $\frac{1}{6}<s<\frac{1}{2}$ 时是局部适定的。本文结果改进了 Himonas 和 Misiolek (Communications in Partial Differential Equations, 23(1998), 123-139.) 中 $j=1$ 情形的结果。新的要素是一些新的函数空间和某些新的 Strichartz 估计。