二维动态 Ising-Kac 模型向 $\Phi^4_2$ 的收敛

Ising-Kac 模型是铁磁 Ising 模型的一种变体，其中每个自旋变量与其基点周围半径为 $\gamma^{-1}$（$\gamma \ll 1$）邻域内的所有自旋相互作用。我们在离散二维环面 $\mathbb{Z}^2/ (2N+1)\mathbb{Z}^2$ 上研究该模型的 Glauber 动力学，系统尺寸满足 $N \gg \gamma^{-1}$，且逆温度接近平均场模型的临界值。我们证明了适当重标度的粗粒化自旋场依分布收敛于一个非线性随机偏微分方程的解。该方程是 $\Phi^4_2$ 量子场论的动力学版本，形式上由一个受加性时空白噪声驱动的反应扩散方程给出。众所周知，在二维空间维度中，此类方程是分布值的，必须执行 Wick 重整化以定义非线性项。形式上，这种重整化对应于在方程中添加一个无限质量项。我们表明，极限方程对重整化的这一需求在离散系统中体现为临界温度相对于其平均场值的偏移。