球自旋玻璃自由能的收敛性

我们证明任意球混合 $p$-自旋模型的自由能在维数 $N$ 趋于无穷时收敛。尽管该收敛性是 Parisi 公式的推论，我们给出的证明独立于该公式，并使用了著名的 Guerra-Toninelli 插值法。后者是为 Ising 自旋模型所发明，用以证明自由能是超可加的，从而（经 $N$ 归一化后）收敛。然而在球情形下，构型空间并非乘积空间，插值无法直接应用。我们首先将维数 $N+M$ 的球上自由能与定义在维数 $N$ 和 $M$ 的球之乘积上的自由能相关联，再对后者应用插值法。这给出了近似超可加性，足以证明收敛性。