球面自旋玻璃自由能的锐利普适性二分法

我们研究具有独立同分布 (i.i.d.) 无序的纯与混合球面 $p$-自旋模型的自由能。在混合情形下，假设每个 $p$-相互作用层要么具有指数为 $\alpha_p$ 的正则变化尾部，要么满足有限的 $2p$ 阶矩条件。对于具有尾部指数为 $\alpha$ 的正则变化无序的纯球面 $p$-自旋模型，我们引入了一种尾部自适应归一化，在经典高斯缩放与极值缩放之间进行插值，并证明了淬火自由能的锐利普适性二分法。在亚临界区域 $\alpha<2p$，热力学由有限多个极值耦合驱动，自由能收敛至由 NIM（不相交单项式）模型描述的非退化随机极限，该极限仅依赖于极值阶统计量。在临界指数 $\alpha=2p$ 处，我们得到了一个随机一维 TAP 型变分公式，捕捉了球面切片上极值尖峰与普适高斯主体的共存。在超临界区域 $\alpha>2p$（更一般地，在有限 $2p$ 阶矩假设下），自由能是普适的，并与 [Sawhney-Sellke'24] 中所确立的相应高斯模型的确定性 Crisanti--Sommers/Parisi 值相一致。随后，我们将亚临界与临界结果推广至每个 $p$-层要么具有重尾（$\alpha_p\le 2p$）要么具有有限 $2p$ 阶矩的混合球面模型。特别地，我们导出了混合模型的 TAP 型变分表示，给出了跨尾部指数与混合物的淬火自由能的统一普适性分类。