绝热极限下节点集的收敛性

我们研究了纤维丛 $\pi{:}\, M\to B$ 上拉普拉斯算子非退化特征函数的节点集在绝热极限下的收敛性。该极限考虑一族黎曼度量 $G_\varepsilon$，它们接近于黎曼淹没，其中纤维直径与基空间直径之比由 $\varepsilon \ll 1$ 给出。假设 $M$ 是紧致的，并允许带有边界的纤维 $F$，条件是在 $F_x$ 上的Dirichlet-拉普拉斯算子的基态特征值不依赖于基点。我们证明，对于 $\dim B \leq 3$，Dirichlet-特征函数 $\varphi$ 的节点集收敛到 $\pi$ 下 $B$ 上函数 $\psi$ 节点集的原像，其中 $\psi$ 由有效方程的解确定。特别地，这意味着对于足够小的 $\varepsilon$，节点集与边界相交，并表明该问题许多已知结果（针对某些类型的域获得）也在带有边界的大类流形上成立。对于闭流形 $M$ 纤维化于圆 $B=S^1$ 的特殊情况，我们得到了更精细的估计，并证明了 $\varphi$ 节点集的每个连通分量都光滑同伦于 $\pi{:}\, M\to S^1$ 的典型纤维。