误设条件下 Grenander 估计量线性泛函的收敛性

在真实密度递减的假设下，众所周知，若真实密度是弯曲的，Grenander 估计量以 $n^{1/3}$ 的速率收敛 [Sankhy\={a} Ser. A 31 (1969) 23-36]；若密度是平坦的，则以 $n^{1/2}$ 的速率收敛 [Ann. Probab. 11 (1983) 328-345; Canad. J. Statist. 27 (1999) 557-566]。在真实密度被误设的情况下，Patilea 的结果 [Ann. Statist. 29 (2001) 94-123] 表明全局收敛速率在 Hellinger 距离下为 $n^{1/3}$ 阶。在此，我们证明了在密度被误设的点处，局部收敛速率为 $n^{1/2}$。这与 Patilea 的结果 [Ann. Statist. 29 (2001) 94-123] 并不矛盾：全局收敛速率 simply 源于局部弯曲且设定正确的区域。此外，我们通过考虑线性泛函研究了误设下的全局收敛。收敛速率为 $n^{1/2}$，我们表明极限由两个独立项组成：一个均值为零的高斯项和一个第二项（具有非零均值），后者仅在密度具有局部平坦且设定正确的区域时存在。