对数凹密度估计中的全局收敛速率

在 $\mathbb{R}^d$ 上估计对数凹密度是形状约束下非参数推断领域的一个核心问题。在本文中，我们研究了对数凹密度估计器在全局损失函数下的性能，并采用了极小极大方法。我们首先证明，当 $d=1$ 时，基于大小为 $n$ 的样本的任何统计过程，其关于平方 Hellinger 损失函数估计对数凹密度的上确界风险不可能小于 $n^{-4/5}$ 量级；当 $d \geq 2$ 时，该量级为 $n^{-2/(d+1)}$。特别是，这揭示了一种意义，即当 $d \geq 3$ 时，对数凹密度估计在根本上比估计具有两个有界导数的密度（一个常被用来与之比较的问题）更具挑战性。其次，我们证明对于 $d \leq 3$，具有小均值且协方差矩阵接近单位矩阵的一类对数凹密度的 Hellinger $\epsilon$-括号熵的增长率为 $\max\{\epsilon^{-d/2},\epsilon^{-(d-1)}\}$（当 $d=2$ 时相差一个对数因子）。这使得我们能够证明，当 $d \leq 3$ 时，关于平方 Hellinger 损失，对数凹最大似然估计器达到了极小极大最优速率（当 $d = 2,3$ 时相差对数因子）。