无序系统统计力学中随机矩阵乘积的连续极限

我们考虑在分析无序统计力学系统时所出现的矩阵乘积的一个特定的弱无序极限（“连续极限”），特别关注随机转移矩阵。该极限系统是一个扩散模型，其前导 Lyapunov 指数可以用修正 Bessel 函数显式表达，这一公式出现在有关这些无序系统的物理文献中。我们对该扩散系统以及其与矩阵乘积的联系进行了分析。随后我们将结果应用于 Derrida 和 Hilhorst [J. Phys. A (1983)] 所考虑的框架，该框架特别处理了一维无序 Ising 模型中的强相互作用极限并识别出 Lyapunov 指数（转移矩阵的）的奇异行为，以及具有柱状无序的二维 Ising 模型（McCoy-Wu 模型）。我们表明连续极限精确地捕捉到了 Derrida 和 Hilhorst 奇异性。此外我们重访了 McCoy 和 Wu [Phys. Rev. 1968] 的分析，并指出它可以用连续极限近似来解释。我们对 McCoy-Wu 模型自由能的连续近似给出了数学分析，澄清了（McCoy 和 Wu 的）预测：在此近似下，具有柱状无序的二维 Ising 模型的自由能在临界温度处是 $C^\infty$ 但非解析的。