一类离散化反应-扩散系统的有界性

尽管空间连续形式的反应-扩散方程已被充分研究，但在某些情况下，空间离散化的表示为生物过程提供了更真实的近似。实际上，在数学上，离散化和连续系统会对生物动力学给出不同的预测。在连续情形中众所周知，扩散的引入会导致关于 $L^{\infty}$ 范数的扩散驱动爆破。然而，这并不意味着扩散驱动爆破会发生在该系统的离散化版本中。例如，在具有 Dirichlet 边界条件和非负解的连续反应-扩散系统中，即使总物种浓度非增，也会发生扩散驱动爆破。对于具有齐次 Neumann 边界条件的系统，连续和离散系统之间是否会发生这种偏差目前尚不清楚。因此，独立于连续系统来研究离散系统是值得的。由于离散系统的有界性尚无判据，本文的重点是确定充分条件，以保证具有扩散的系统在所有时间保持有界。我们考虑在一维区域上具有齐次 Neumann 边界条件以及非负初始数据和解的反应-扩散系统。我们定义了一个类 Lyapunov 函数，并证明其存在性保证了离散化反应-扩散系统是有界的。这些结果在三个可以找到和不能找到类 Lyapunov 函数的示例系统的背景下进行了讨论。