连分数与 Stern–Brocot 图中的直线

本文关注连分数与 Stern-Brocot 图几何之间的关系。每个有理数可表示为连分数 $[a_0; a_1, \ldots, a_n]$，其项 $a_i$ 为整数，且当 $i \geq 1$ 时为正。选取指标 $i \in \{ 1, \ldots, n \}$ 并将 $a_i$ 替换为整数 $m$，得到扩展有理数 $\alpha_m \in \mathbb{Q} \cup \{ \infty \}$ 的连分数展开。本文证明，对应于数集 $\{ \alpha_m \}_{m \in \mathbb{Z}}$ 的 Stern-Brocot 图顶点位于图中一对（扩展）欧几里得直线上。这两条直线斜率仅差一个符号变化，且相交于点 $L=\left([a_0; a_1, \ldots, a_{i-1}], 0\right) \in \mathbb{R}^2$。此外，当 $\lvert m \rvert \to \infty$ 时，相关顶点沿这些直线向下移动并收敛于 $L$。本文最后讨论了在 2-桥链补与 Thurston 双曲 Dehn 手术工作的背景下对该结果的解读。