二维理想不可压缩外流中涡量的约束

在 [Math. Meth. Appl. Sci. 19 (1996) 53-62] 中，C. Marchioro 研究了光滑有界区域外部涡量约束的问题。Marchioro 论文中的主要结果是：在连通有界区域外部，具有紧支集非负初始涡量的不可压缩二维 Euler 方程解，其涡量支集的直径至多以 $\mathcal{O}(t^{(1/2)+\vare})$ 的速度增长，对任意 $\vare>0$。此外，若区域是圆盘的外部，则涡量支集包含在一个半径为 $\mathcal{O}(t^{1/3})$ 的圆盘内。本文的目的是改进 Marchioro 的结果。我们将证明，若初始涡量关于原点为偶的，则圆盘外部的指数可改进为 1/4。对于光滑、连通、有界区域外部的流，我们证明了指数为 1/2 的约束估计（即去掉了 $\vare$），并且在某些依赖于流的调和部分的情形中，我们建立了相对于指数 1/2 的对数改进。我们方法中的主要新要素是：(1) 利用 Riemann 映射得到的外部 Poisson 问题在无穷远附近的详细渐近描述；(2) 重整化能量估计以及涡量对数矩的界；(3) 关于惯性矩对数扰动的时间导数的一个新的 {\it a priori} 估计。