带 PDE 约束的全变分正则化的条件梯度法：一种图割方法

全变分(total variation, TV)正则化已被证明是微分方程最优控制中的有力工具。这尤其归因于如下观察：TV 惩罚往往偏好具有良好跳集的分段常数极小元。另一方面，其复杂性质显著增加了分析的各个方面的难度，从一阶最优性条件的推导，到其离散逼近以及合适求解算法的选择。本文从凸几何视角研究了一类带 TV 正则化的极小问题（包含连续与离散化控制空间）。这带来了关于带全变分正则化极小问题的一系列新理论见解，以及其实用实现的工具。首先，通过研究相应全变分单位球的极点，我们使其能通过利用几何的算法高效求解，例如全修正广义条件梯度法。我们详细给出了此类方法在空间域三角剖分上控制的分段常数有限元逼近中的实际实现。其次，在同一设定下，对适当的一致加密网格序列，我们证明了离散化 PDE 约束最优控制问题的极小元逼近一个涉及反映网格细尺度几何的各向异性全变分的连续极限问题的解。